Question

20．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（α＞b＞0）的左、右焦点为F₁，F₂，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l过椭圆的右焦点F₂（l不垂直于坐标轴），且与椭圆交干A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M（0，n），试求n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得：-b×b=-1，解得b．又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，联立解得即可得出．
（2）F₂（1，0）．设直线l的方程为：y=k（x-1），点（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点D（x₀，y₀）．对k分类讨论：k≠0时，与椭圆方程联立化为：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．利用根与系数的关系、中点坐标公式、垂直平分线的性质可得线段AB的垂直平分线的方程，令x=0，可得n，再利用基本不等式的性质即可得出．k=0时，直接得出．

解答 解：（1）椭圆短轴的两个端点（0，±b）．
∵点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，∴-b×b=-1，解得b=1．
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，联立解得：c=1，a=$\sqrt{2}$．
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（2）F₂（1，0）．
设直线l的方程为：y=k（x-1），点（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点D（x₀，y₀）．
①k≠0时，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
∴x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，可得x₀=$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，y₀=k（x₀-1）=$\frac{-k}{1+2{k}^{2}}$．
∴线段AB的垂直平分线的方程为：y+$\frac{k}{1+2{k}^{2}}$=$-\frac{1}{k}$$（x-\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}）$，令x=0，则n=$\frac{k}{1+2{k}^{2}}$，
k＞0时，n=$\frac{1}{\frac{1}{k}+2k}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，当且仅当k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号，此时n∈$（0，\frac{\sqrt{2}}{2}]$．
同理可得：k＜0时，此时n∈$[-\frac{\sqrt{2}}{2}，0）$．
②k=0时，n=0．
综上可得：n∈$[-\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}]$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、基本不等式的性质、线段的垂直平分线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．