Question

4．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=$\sqrt{6}$，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，M，N分别为BC和PB的中点．．
（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PMA；
（Ⅱ）求四面体M-AND的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结AC，由四边形ABCD是菱形，且∠ABC=60°，得△ABC是等边三角形，再由M是BC中点，得AM⊥BC，由已知PA⊥平面ABCD，可得PA⊥BC，在线面垂直的判定得BC⊥平面PMA，从而得到平面PBC⊥平面PMA；
（Ⅱ）由已知直接利用等积法求得四面体M-AND的体积．

解答 （Ⅰ）证明：连结AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，
又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，
∵M是BC中点，∴AM⊥BC，
∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC，在平面PMA中AM∩PA=A，
∴BC⊥平面PMA．
∴平面PBC⊥平面PMA；
（Ⅱ）解：∵四边形ABCD是菱形，且AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=$\sqrt{6}$，
∴${V}_{M-AND}={V}_{N-AMD}=\frac{1}{3}{S}_{△AMD}×\frac{1}{2}PA$
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×ABsin60°×\frac{\sqrt{6}}{2}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．