Question

2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA-$\sqrt{3}$sinA）cosB=0．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若a=2，b=$\sqrt{7}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用诱导公式，两角和差的余弦公式，求得tanB的值，可得B的值．
（Ⅱ）求得sinB、cosB的值，利用正弦定理求得sinA的值，可得cosA的值，从而求得sinC=sin（A+B）的值，进而求得△ABC的面积$\frac{1}{2}$ab•sinC的值．

解答 解：（Ⅰ）由已知得-cos（A+B）+cosAcosB-$\sqrt{3}$sinAcosB=0，
即有sinAsinB-$\sqrt{3}$sinAcosB=0，
因为sinA≠0，所以sinB-$\sqrt{3}$cosB=0，又cosB≠0，
所以tanB=$\sqrt{3}$，又0＜B＜π，所以B=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵$sinB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，cosB=\frac{1}{2}$，∵$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{{\sqrt{7}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}=\frac{{2\sqrt{21}}}{3}$，又a=2，
∴$sin{A_{\;}}=\frac{3}{{\sqrt{21}}}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，∵a＜b，∴$cos{A_{\;}}=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{{3\sqrt{21}}}{14}$，
∴$S=\frac{1}{2}absin{C_{\;}}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题主要考查诱导公式，两角和差的余弦公式，正弦定理的应用，属于基础题．