Question

3．已知函数f（x）定义域为[-1，1]，若对于任意的x，y∈[-1，1]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，有f（x）＞0．
（1）证明函数f（x）是奇函数；
（2）讨论函数f（x）在区间[-1，1]上的单调性．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法，令x=y=0．可求f（0）=0，令y=-x即可得出f（-x）=-f（x），所以f（x）为奇函数．
（2）利用定义法判断即可．

解答 解：（1）证明：函数f（x）定义域为[-1，1]，
∵有f（x+y）=f（x）+f（y），
∴令x=y=0，可得f（0）=f（0）+f（0），
所以：f（0）=0．
令y=-x，可得：f（0）=f（x）+f（-x）=0，
所以f（-x）=-f（x），
故得f（x）为奇函数．
（2）∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，
由题意设-1≤x₁＜x₂≤1，
那么：f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）．
由题意x＞0时，有f（x）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）是在[-1，1]上为单调递增函数．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法求解函数奇偶性和构造定义判断函数的单调性．