Question

已知双曲线x²-y²=a²及其上一点P，求证：
（1）离心率e=

2

，渐近线方程为y=±x；
（2）P到它的两个焦点的距离的积等于P到双曲线中心距离的平方；
（3）过P作两渐近线的垂线，构成的矩形面积为定值．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）将双曲线方程化为标准方程，进而根据双曲线的简单性质，求出离心率和渐近线方程；
（2）设P点坐标为（x₀，

x 2 0 -a2

），分别求出P到两个焦点的距离，和P点到原点的距离，可证得结论；
（3）利用点到直线距离公式，求出过P作的两渐近线的垂线长度，求出矩形面积，可得答案．

解答： 证明：（1）双曲线x²-y²=a²的标准方程为：

x2

a2

-

y2

a2

=1，
∴c²=2a²，
∴e²=2，
∴双曲线的离心率e=

2

，
渐近线方程为y=±

a

a

x=±x，
（2）设P点坐标为（x₀，

x 2 0 -a2

），双曲线的左右焦点分别为：（±

2

a，0）
∴则P到到两焦点的距离分别为：

(x0+ 2 a)2+ x 2 0 -a2

，

(x0- 2 a)2+ x 2 0 -a2

，
则

(x0+ 2 a)2+ x 2 0 -a2

•

(x0- 2 a)2+ x 2 0 -a2

=

(2 x 2 0 +a2)+2 2 ax0

•

(2 x 2 0 +a2)-2 2 ax0

=

(2 x 2 0 +a2)2-8(ax0)2

=

(2 x 2 0 -a2)2

=2

x

2 0

-a2 ，
P到到原点的距离为

x02+ x 2 0 -a2

=

2 x 2 0 -a2

，
故P到它的两个焦点的距离的积等于P到双曲线中心距离的平方；
（3）过P作两渐近线的垂线，
垂线长度分别为：

x0+ x 2 0 -a2

2

和

x0- x 2 0 -a2

2

，
故矩形的面积S=

x0+ x 2 0 -a2

2

•

x0- x 2 0 -a2

2

=

(x0)2-( x 2 0 -a2)

2

=

1

2

a2，
即矩形面积为定值．

点评：本题考查的知识点是双曲线的简单性质，两点之间的距离公式，点到直线的距离公式，难度不大，属于基础题．