Question

设函数f（x）=

x-a

（a∈R）．若存在b∈[0，1]，使f（f（b））=b成立，则a的取值范围是（　　）

• A、[0，

  1

  4

  ]
• B、[1，2]
• C、[0，1]
• D、[

  1

  4

  ，1]

Answer 1

考点：幂函数的性质,函数的值

专题：

分析：根据函数式子得出：存在b∈[0，1]，使f（b）=f^-1（b）”，
即可判断出y=f（x）的图象与函数y=f^-1（x）的图象有交点，
y=f（x）的图象与函数y=f^-1（x）的图象的交点必定在直线y=x上，
转化为根据

x-a

=x，化简整理得x-a=x²．x∈[0，1]，
即a=x-x²，x∈[0，1]，利用二次函数性质求解即可．

解答： 解：由f（f（b））=b，可得f（b）=f^-1（b），
其中f^-1（x）是函数f（x）的反函数
因此命题“存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立”，转化为
“存在b∈[0，1]，使f（b）=f^-1（b）”，
即y=f（x）的图象与函数y=f^-1（x）的图象有交点，
且交点的横坐标b∈[0，1]，
∵y=f（x）的图象与y=f^-1（x）的图象关于直线y=x对称，
∴y=f（x）的图象与函数y=f^-1（x）的图象的交点必定在直线y=x上，
由此可得，y=f（x）的图象与直线y=x有交点，且交点横坐标b∈[0，1]，
根据

x-a

=x，化简整理得x-a=x²．x∈[0，1]，
即a=x-x²，x∈[0，1]，
∴根据二次函数的性质得出：0≤a≤

1

4

即实数a的取值范围为[0，

1

4

]．
故选：A．

点评：本题给出含有根号与指数式的基本初等函数，在存在b∈[1，e]使f（f（b））=b成立的情况下，求参数a的取值范围．着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数的零点存在性定理和互为反函数的两个函数的图象特征等知识，属于中档题