Question

20．在三棱锥D-ABC，AB=BC=CD=DA=8，∠ADC=∠ABC=120°，M、O分别为棱BC，AC的中点，DM=4$\sqrt{2}$．
（1）求证：平面ABC⊥平面MDO；
（2）求点M到平面ABD的距离．

Answer 1

分析 （I）证明OD⊥OM．OD⊥AC．推出OD⊥平面ABC，然后证明平面ABC⊥平面MDO．
（Ⅱ）利用V_M-ABD=V_D-MAB，求出相关几何体的底面面积，以及高，求解点M到平面ABD的距离．

解答 解：（I）证明：由题意：OM=OD=4，
∵$DM=4\sqrt{2}$，∴∠DOM=90°，即OD⊥OM．
又∵在△ACD中，AD=CD，O为AC的中点，∴OD⊥AC．
∵OM∩AC=O，∴OD⊥平面ABC，
又∵OD?平面MDO，∴平面ABC⊥平面MDO．…（6分）
（Ⅱ）由（I）知OD⊥平面ABC，OD=4
△ABM的面积为${S_{△ABM}}=\frac{1}{2}BA×BM×sin{120°}=\frac{1}{2}×8×4×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=8\sqrt{3}$．
又∵在Rt△BOD中，OB=OD=4，得$BD=4\sqrt{2}$，AB=AD=8，
∴${S_{△ABD}}=\frac{1}{2}×4\sqrt{2}×\sqrt{64-8}=8\sqrt{7}$．
∵V_M-ABD=V_D-MAB，即$\frac{1}{3}{S_{△ABD}}•h=\frac{1}{3}{S_{MAB}}•OD$
∴$h=\frac{{{S_{△MAB}}•OD}}{{{S_{△ABD}}}}=\frac{{4\sqrt{21}}}{7}$，
∴点M到平面ABD的距离为$\frac{{4\sqrt{21}}}{7}$．…（12分）

点评 本题考查空间点线面距离公式的应用，等体积法的应用，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查计算能力．