Question

设正整数数列满足：，且对于任何，有．

（1）求，；

（2）求数列的通项．

 

Answer 1

(1) ， ；(2) .

【解析】

试题分析：（1）令，根据算得,再根据是正整数，算得.

当时,同样根据,将代入，得到的范围，根据是正整数，求得.

(2）先根据可猜想，再用数学归纳法证明．

试题解析：【解析】
（1）据条件得 ①

当时，由，即有，

解得．因为为正整数，故．

当时，由，

解得，所以．

（2）方法一：由，，，猜想：．

下面用数学归纳法证明．

1当，时，由（1）知均成立；

2假设成立，则，则时

由①得

因为时，，所以．

，所以．

又，所以．

故，即时，成立．

由1，2知，对任意，．

（2）方法二：

由，，，猜想：．

下面用数学归纳法证明．

1当，时，由（1）知均成立；

2假设成立，则，则时

由①得

即②

由②左式，得，即，因为两端为整数，

则．于是③

又由②右式，．

则．

因为两端为正整数，则，

所以．

又因时，为正整数，则④

据③④，即时，成立．

由1，2知，对任意，．

考点：1.数列的递推公式；2.数学归纳法.