Question

4．在如图所示的几何体中，△ABC是正三角形，且EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，M是AB的中点．
（Ⅰ）求证：CM⊥EM；
（Ⅱ）若AB=2$\sqrt{2}$，AE=1，BD=2，求DE与平面EMC所成角的正切值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求点M到平面CDE的距离．

Answer 1

分析 （I）由等边三角形的性质可得：CM⊥AB．由EA⊥平面ABC，可得EA⊥CM．CM⊥平面EAB，即可证明结论．
（II）建立如图所示的空间直角坐标系．设平面CEM的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EM}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MC}=0}\end{array}\right.$，设DE与平面EMC所成角为θ，利用sinθ=$|cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{ED}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{ED}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{ED}|}$，进而得出tanθ．
（III）设平面CDE的方向为$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{ED}=0}\end{array}\right.$，利用点M到平面CDE的距离d=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EM}|}{|\overrightarrow{m}|}$即可得出．

解答 证明：（I）∵△ABC是正三角形，M是AB的中点．
∴CM⊥AB．
∵EA⊥平面ABC，CM?平面ABC，
∴EA⊥CM．
又EA∩AB=A，
∴CM⊥平面EAB，
∴CM⊥EM．
解：（II）建立如图所示的空间直角坐标系．
A（0，0，0），E（0，0，1），M（$\sqrt{2}$，0，0），C（$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$，0），D（2$\sqrt{2}$，0，2），
$\overrightarrow{EM}$=（$\sqrt{2}$，0，-1），$\overrightarrow{MC}$=（0，$\sqrt{6}$，0），$\overrightarrow{ED}$=（2$\sqrt{2}$，0，1）．
设平面CEM的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EM}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MC}=0}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}x-z=0}\\{\sqrt{6}y=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=$（1，0，\sqrt{2}）$．
设DE与平面EMC所成角为θ，则sinθ=$|cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{ED}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{ED}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{ED}|}$=$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{9}×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴tanθ=$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{2}$．
（III）$\overrightarrow{EC}$=（$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$，-1），
设平面CDE的方向为$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{ED}=0}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}{x}_{1}+\sqrt{6}{y}_{1}-{z}_{1}=0}\\{2\sqrt{2}{x}_{1}+{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{m}$=$（1，-\sqrt{3}，-2\sqrt{2}）$．
∴点M到平面CDE的距离d=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EM}|}{|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{12}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查了空间位置关系、距离的计算、线面垂直平行判定与性质定理、法向量的应用、向量垂直与数量积的关系、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．