题目内容

已知向量 $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ．函数 $数学公式$ 的图象的相邻两对称轴之间的距离为2，且过点 $数学公式$ ．
（1）求f（x）的表达式；
（2）求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）的值．

（本小题满分14分）
解：（1） $\text{[math]}$
=sin²（ωx+φ）-1+4-cos²（ωx+φ）
=3-cos（2ωx+2φ）
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$
∵φ∈（0， $\text{[math]}$ ）
∴ $\text{[math]}$ 或f（x）=3-cos（ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ）…（9分）
（2）∵T=4
∴f（1）+f（2）+…+f（2009）=502[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）
=502[（3+ $\text{[math]}$ ）+（3+ $\text{[math]}$ ++（3- $\text{[math]}$ ）+（3- $\text{[math]}$ ）]+3+ $\text{[math]}$
=1509 $\text{[math]}$ ．…（14分）
分析：（1）直接根据平面向量数量积的运算以及二倍角公式求出f（x）=3-cos（2ωx+2φ）；再结合相邻两对称轴之间的距离为2，且过点 $\text{[math]}$ 求出ω，φ即可求f（x）的表达式；
（2）先求出周期T，再结合特殊角的三角函数值即可求出结论．
点评：本题主要考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式以及平面向量数量积的运算．是对基础知识的综合考查，属于中档题目．