Question

9．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|=4$\sqrt{2}$，|DE|=2$\sqrt{5}$，则C的焦点到准线的距离为4．

Answer 1

分析 画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可抛物线的方程，根据抛物线的性质，即可求得C的焦点到准线的距离．

解答 解：设抛物线为y²=2px，如图：|AB|=4$\sqrt{2}$，|AM|=2，
|DE|=2$\sqrt{5}$，|DN|=$\sqrt{5}$，|ON|=$\frac{p}{2}$，
x_A=$\frac{（2\sqrt{2}）^{2}}{2p}$=$\frac{4}{p}$，
∵|OD|=|OA|，
∴$\sqrt{丨{ON丨}^{2}+丨DN{丨}^{2}}$=$\sqrt{丨OM{丨}^{2}+丨AM{丨}^{2}}$
∴$\frac{{p}^{2}}{4}$+5=$\frac{16}{{p}^{2}}$+8，解得：p=4，
∴抛物线的方程为：y²=8x，
C的焦点到准线的距离为：4．
故答案为：4．

点评 本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查数形结合思想，属于中档题．