题目内容

（1）当n∈N⁺时，求证： $数学公式$ ≤ $数学公式$ ＜1；
（2）当n∈N⁺时，求证：1+ $数学公式$ ＜2．

解：（1）证明：∵ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ＜1，故不等式成立．
（2）证明：∵1+ $\text{[math]}$ ＜1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$
=1+1- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ =2- $\text{[math]}$ ＜2，
即 1+ $\text{[math]}$ ＜2．
分析：（1）利用 $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，进行放缩．
（2）利用 1+ $\text{[math]}$ ＜1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$
=1+1- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ =2- $\text{[math]}$ ，得到要证的结果．
点评：本题考查用放缩法证明不等式，掌握好放缩的程度，是解题的难点．

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（1）当n∈N⁺时，求证：

＜1；
（2）当n∈N⁺时，求证：1+