Question

20．空间四点A、B、C、D满足|AB|=1，|CD|=2，E、F分别是AD、BC的中点，若AB与CD所在直线的所成角为60°，则|EF|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\frac{{\sqrt{7}}}{2}$．

Answer 1

分析 取BD中点O，连结EO、FO，推导出EO∥CD，且|EO|=1，FO∥AB，且|FO|=$\frac{1}{2}$，∠EOF（或其补角）是异面直线AB与CD所成的角，由此能求出EF．

解答 解：取BD中点O，连结EO、FO，
∵四面体ABCD中，|AB|=1，|CD|=2，E、F分别为BC、AD的中点，且异面直线AB与CD所成的角为60°，
∴EO∥CD，且|EO|=1，FO∥AB，且|FO|=$\frac{1}{2}$，
∴∠EOF（或其补角）是异面直线AB与CD所成的角，
∴∠EOF=60°或120°，
∴∠EOF=60°，EF=$\sqrt{\frac{1}{4}+1-2×\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∠EOF=120°，EF=$\sqrt{\frac{1}{4}+1+2×\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\frac{{\sqrt{7}}}{2}$．

点评 本题考查线段长的求法，考查空间角，考查余弦定理的运用，不要漏掉一种情况．