Question

13．已知点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x-3y+1=0的两侧，给出下列命题：
①2a-3b+1＞0；   ②a≠0时，$\frac{b}{a}$有最小值，无最大值；
③存在正实数m，使得$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$＞m恒成立；
④a＞0且a≠1，b＞0时，则$\frac{b}{a-1}$的取值范围是（-∞，-$\frac{1}{3}$）∪（$\frac{2}{3}$，+∞）．
其中正确的命题是（　　）

• A． ①②
• B． ②③
• C． ②④
• D． ③④

Answer 1

分析 由已知点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x-3y+1=0的两侧可得2a-3b+1＜0，结合不等式的性质可得当a＞0时，$\frac{b}{a}＞\frac{2}{3}+\frac{1}{3a}$，从而对①②作出判断；对于③，是看$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$有没有极小值，根据 $\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$ 的取值即可得出；对于④，利用式子蕴含的斜率的几何意义即可解决

解答 解：由已知（2a-3b+1）（2-0+1）＜0，即2a-3b+1＜0，∴①错；
当a＞0时，由3b＞2a+1，可的  $\frac{b}{a}＞\frac{2}{3}+\frac{1}{3a}$，∴不存在最小值，∴②错；
$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$表示为（a，b）与（0，0）两点间的距离，
由于原点（0，0）到直线2x-3y+1=0的距离d=$\frac{1}{\sqrt{4+9}}=\frac{\sqrt{13}}{13}$，由线性规划知识可得$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}＞d=\frac{\sqrt{13}}{13}$，∴③正确；
$\frac{b}{a-1}$表示点（a，b）与点（1，0）连线的斜率，
如图，由线性规划知识可知a＞0且a≠1，b＞0时，则$\frac{b}{a-1}$的取值范围是（-∞，-$\frac{1}{3}$）∪（$\frac{2}{3}$，+∞）．，+∞）．④正确．
故选．D．

点评 本题主要考查了简单线性规划，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．