题目内容

设正项数列{a_n}的前n项之和S_n满足 $数学公式$
（1）求S_n；
（2）证明： $数学公式$ ．

（1）解：当n=1时， $\text{[math]}$ ，
∵a₁＞0，∴a₁=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =n
∴ $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+…+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ =n+（n-1）+…+2+1= $\text{[math]}$
∵a_n＞0，S_n＞0，∴ $\text{[math]}$ ；
（2）证明：∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2（ $\text{[math]}$ ）
∴ $\text{[math]}$ =2[（1- $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ ）+…+（ $\text{[math]}$ ）]=2（1- $\text{[math]}$ ）＜2．
分析：（1）当n≥2时，利用a_n=S_n-S_n-1，可得 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =n，再用叠加法，即可得到结论；
（2）利用裂项法，再用放缩法，可得结论．
点评：本题考查数列递推式，考查叠加法、裂项法的运用，属于中档题．

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（1）求数列{a_n}的通项公式；
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