Question

19．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cosφ，2sinφ），φ∈（90°，180°），$\overrightarrow{b}$=（1，1），则向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为（　　）

• A． φ
• B． 45°+φ
• C． 135°-φ
• D． φ-45°

Answer 1

分析 由条件计算出|$\overrightarrow{a}$|和|$\overrightarrow{b}$|的值，设向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，再求得cosθ 的值，结合θ和φ的范围，利用诱导公式求得θ的值．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$=（2cosφ，2sinφ），φ∈（90°，180°），$\overrightarrow{b}$=（1，1），
∴|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$，
设向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，
则cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{2cosφ+2sinφ}{2\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}cos（φ-45°）}{2\sqrt{2}}$=cos（φ-45°），
再根据φ-45°∈（45°，135°），可得向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ=φ-45°，
故选：D．

点评 本题考查的知识点是平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，其中利用cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$ 计算两个向量的夹角是解答本题的关键，属于中档题．