Question

10．设函数f（x）的定义域为R，若不等式|f（x）|≤|x|对任意的实数x均成立，则称函数f（x）为“T”函数，给出下列四个函数：
①f₁（x）=$\frac{2{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$，
②f₂（x）=xsinx，
③f₃（x）=ln（x²+1），
④f₄（x）=$\frac{{e}^{x}}{{e}^{x}+1}$．
其中，“T”函数的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 当x=0时，有|f₁（x）|=|x|成立，当x≠0时，利用不等式的性质说明|f₁（x）|≤|x|成立，由此说明①是“T”函数；
直接由|sinx|≤1得到|f₂（x）|≤|x|，说明②是“T”函数；
分类求导说明|f₃（x）|≤|x|，说明③是“T”函数；
举例说明④不是“T”函数．

解答 解：对于①，f₁（x）=$\frac{2{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$，
当x=0时，有|$\frac{2{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$|=0≤x，
当x≠0时，若|$\frac{2{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$|≤|x|，则2|x|≤|x²+1|=|x|²+1，
由不等式的性质可得上式显然成立，故f₂（x）是“T”函数；
对于②，f₂（x）=xsinx，
∵|sinx|≤1，∴|xsinx|=|x||sinx|≤|x|，故f₂（x）为“T”函数；
对于③，f₃（x）=ln（x²+1），
令g（x）=|ln（x²+1）|-|x|=ln（x²+1）-|x|，
当x≥0时，g（x）=ln（x²+1）-x，
g′（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}-1=\frac{-（x-1）^{2}}{{x}^{2}+1}≤0$，
∴g（x）在[0，+∞）上为减函数，则g（x）≤g（0）=0，即|ln（x²+1）|≤|x|．
当x＜0时，g（x）=ln（x²+1）+x，
g′（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}+1=\frac{（x+1）^{2}}{{x}^{2}+1}≥0$，
∴g（x）在（-∞，0）上为增函数，则g（x）≤g（0）=0，即|ln（x²+1）|≤|x|．
故f₃（x）为“T”函数；
对于④，f₄（x）=$\frac{{e}^{x}}{{e}^{x}+1}$，
当x=0时，|$\frac{{e}^{x}}{{e}^{x}+1}$|=$|\frac{1}{2}|$＞0，故f₄（x）不是“T”函数．
∴“T”函数的个数有3个，
故选：C．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，是中档题．