Question

9．设S_n是数列{a_n}的前n项和，已知a₁=3，a_n+1=2S_n+3（n∈N）
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=（2n-1）a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出；
（II）利用“错位相减法”与等比数列的其前n项和公式即可得出．

解答 解：（I）∵a_n+1=2S_n+3，∴当n≥2时，a_n=2S_n-1+3，
∴a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n，化为a_n+1=3a_n．
∴数列{a_n}是等比数列，首项为3，公比为3．
∴a_n=3ⁿ．
（II）b_n=（2n-1）a_n=（2n-1）•3ⁿ，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=3+3×3²+5×3³+…+（2n-1）•3ⁿ，
3T_n=3²+3×3³+…+（2n-3）•3ⁿ+（2n-1）•3ⁿ⁺¹，
∴-2T_n=3+2（3²+3³+…+3ⁿ）-（2n-1）•3ⁿ⁺¹=$2×\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$-3-（2n-1）•3ⁿ⁺¹=（2-2n）•3ⁿ⁺¹-6，
∴T_n=（n-1）•3ⁿ⁺¹+3．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．