Question

11．若a，b∈R，则下列恒成立的不等式是（　　）

• A． $\frac{{|{a+b}|}}{2}$≥$\sqrt{|{ab}|}$
• B． $\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$≥2
• C． $\frac{{{a^2}+{b^2}}}{2}$≥（${\frac{a+b}{2}}$）²
• D． （a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）≥4（a+b）

Answer 1

分析 直接利用基本不等式的性质考查各选项即可得到答案．

解答 解：对于A：$\frac{|a+b|}{2}≥\sqrt{ab}$，当ab同号的时，不等式成立，当ab异号时，不成立，故A不对；
对于B：$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}≥2$，当ab同号的时，不等式成立，当ab异号时，$-（\frac{a}{b}+\frac{b}{a}）≥2\sqrt{\frac{a}{b}\frac{b}{a}}=2$，那么$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}≤-2$，故B不对；
对于C：∵$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}-\frac{（a+b）^{2}}{4}=\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-2ab}{4}=\frac{（a-{b}^{2}）}{4}$≥0，则有：$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}≥（\frac{a+b}{2}）^{2}$，故C对；
对于D：$（a+b）（\frac{1}{a+b}）=2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$，当ab同号的时，$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}≥2$，原不等式成立，当ab异号时，$-（\frac{a}{b}+\frac{b}{a}）≥2\sqrt{\frac{a}{b}\frac{b}{a}}=2$，那么$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}≤-2$，原不等式不成立，故D不对；
故选：C．

点评 本题考查了基本不等式的性质的变形与运用．比较综合性．属于中档题．