Question

15．已知圆C：x²+y²-2x+4y-4=0与直线l：y=x+b相交于不同的两点A、B．
（1）求实数b的取值范围；
（2）是否存在直线l，使得OA⊥OB（其中O为坐标原点），若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直线l：y=x+b代入圆的方程得：2x²+2（b+1）x+b²+4b-4=0，因为直线与圆相交，从而b²+6b-11＜0，即可求实数b的取值范围；
（2）由OA⊥OB得：（x₁+b）（x₂+b）+x₁x₂=0，由此能求出直线方程．

解答 解：（1）直线l：y=x+b，
代入圆的方程得：2x²+2（b+1）x+b²+4b-4=0，
因为直线与圆相交，
所以b²+6b-11＜0，
所以-3-3$\sqrt{2}$＜b＜-3+3$\sqrt{2}$…（6分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-b-1，x₁x₂=$\frac{{b}^{2}+4b-4}{2}$，
由OA⊥OB得：（x₁+b）（x₂+b）+x₁x₂=0，
∴2x₁x₂+（x₁+x₂）+b²=0，
∴b²+3b-4=0，解得b=-4，或b=1，
均满足b²+6b-11＜0，
所求直线存在y=x-4或y=x+1．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．