Question

5．如图，某养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用）．已建的仓库的底面直径为12m，高4m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多的食盐，现有两个方案：一是新建仓库的底面直径比原来的大4m（高不变），二是高度增加4m（底面直径不变）．
（1）分别计算按这两个方案所建仓库的体积；
（2）分别计算按这两个方案所建仓库的侧面积．

Answer 1

分析 （1）根据方案一，则仓库的底面直径变成16m，由圆锥的体积公式建立模型．根据方案二，则仓库的高变成8m，由圆锥的体积公式建立模型．
（2）根据方案一，仓库的底面直径变成16m，由表面积公式建立模型；根据方案二，则仓库的高变成8m，由表面积公式建立模型．

解答 解：（1）当仓库底面直径比原来大4 m时，底面半径为8 m，高为4 m，体积V₁=$\frac{1}{3}$π×8²×4=$\frac{256}{3}$πm³；
当仓库的高比原来大4 m时，底面半径为6 m，高为6 m，体积为V₂=$\frac{1}{3}$π×6²×8=96πm²³
（2）当仓库底面直径比原来大4 m时，底面半径为8 m，高为4 m，
侧面积为S₁=π×8×$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=32$\sqrt{5}$πm²．
当仓库高度比原来大4 m时，底面半径为6 m，高为8 m，
侧面积为S₂=π×6×$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=60πm²．

点评 本题主要考查函数模型的建立与应用，主要涉及了空间几何体的结构特征，圆锥的体积公式，表面积公式．