Question

17．光线l₁从点M（-1，3）射到x轴上，在点P（1，0）处被x轴反射，得到光线l₂，再经直线x+y-4=0反射，得到光线l₃，求l₂和l₃的方程．

Answer 1

分析 求得M（-1，3）关于x轴的对称点为M'（-1，-3），则由直线l₂经过点M′和点P，再由点斜式求得l₂的直线方程．同理，设直线l₂与直线x+y-4=0的交点为N，求得N的坐标，求得P（1，0）关于直线x+y-4=0的对称点为P'（x₀，y₀），根据l₃的经过点N和点P′，由点斜式求得l₃的方程．

解答 解：∵M（-1，3）关于x轴的对称点为M'（-1，-3），则直线l₂经过点M′和点P，
又P（1，0），∴l₂的直线方程为$y=\frac{3}{2}（x-1）$．
设直线l₂与直线x+y-4=0的交点为N，由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{3}{2}（x-1）\\ x+y-4=0\end{array}\right.$ 求得 $N（\frac{11}{5}，\;\frac{9}{5}）$．
设P（1，0）关于直线x+y-4=0的对称点为P'（x₀，y₀），则有$\left\{\begin{array}{l}\frac{{{x_0}+1}}{2}+\frac{y_0}{2}-4=0\\ \frac{y_0}{{{x_0}-1}}=1\end{array}\right.$，
整理得$\left\{\begin{array}{l}{x_0}+{y_0}-7=0\\{y_0}={x_0}-1\end{array}\right.$，解得P'（4，3），由l₃的经过点N和点P′，
可得l₃的方程为$y-3=\frac{{3-\frac{9}{5}}}{{4-\frac{11}{5}}}（x-4）=\frac{2}{3}（x-4）$，即2x-3y+1=0．

点评 本题主要考查反射定律的应用，用点斜式求直线的方程，属于中档题．