Question

已知椭圆＋＝1（a>b>0）的右焦点为，离心率为e.

（1）若e＝，求椭圆的方程；

（2）设直线y＝kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段，的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且<e≤，求k的取值范围.

Answer 1

解：（1）由题意得：，解得a＝2，∴＝3，∴椭圆的方程为＝1.

（2）由，得，设A(，)，B(，)，∴＋＝0，·＝，依题意，OM⊥ON，∴·＝0，又M(，)，N(，)，∴·＝＋＝0，代入整理得：＋9＝0，即＋9＝0，将其整理为：＝－1－，∵<e≤，∴2≤a<3，∴12≤<18，

∴≥，即k∈(－∞，－]∪[，＋∞).