Question

6．已知a，b∈R⁺，m，n∈N^*．
（Ⅰ）求证：（aⁿ+bⁿ）（a^m+b^m）≤2（a^m+n+b^m+n）；
（Ⅱ）求证：$\frac{a+b}{2}$•$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{2}$•$\frac{{{a^3}+{b^3}}}{2}$≤$\frac{{{a^6}+{b^6}}}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）作差可得2（a^m+n+b^m+n）-（aⁿ+bⁿ）（a^m+b^m），展开运用因式分解，推理a，b的大小，即可得证；
（Ⅱ）分别令n=1，m=2，以及m=n=3，运用（Ⅰ）的结论，即可得证．

解答 证明：（Ⅰ）2（a^m+n+b^m+n）-（aⁿ+bⁿ）（a^m+b^m）=a^m+n+b^m+n-aⁿb^m-aⁿb^m
=a^m（aⁿ-bⁿ）+b^m（bⁿ-aⁿ）=（a^m-b^m）（aⁿ-bⁿ）；
（1）若a≥b＞0则，a^m≥b^m＞0，aⁿ≥bⁿ＞0，可得（a^m-b^m）（aⁿ-bⁿ）≥0；
（2）若0＜a＜b，则0＜a^m＜b^m，0＜aⁿ＜bⁿ，可得（a^m-b^m）（aⁿ-bⁿ）＞0；
综上所述总有（a^m-b^m）（aⁿ-bⁿ）≥0
故（aⁿ+bⁿ）（a^m+b^m）≤2（a^m+n+b^m+n）．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得（a+b）（a²+b²）≤2（a³+b³），
即有（a+b）（a²+b²）（a³+b³）≤2（a³+b³）（a³+b³）≤4（a⁶+b⁶）
则有$\frac{a+b}{2}•\frac{{{a^2}+{b^2}}}{2}•\frac{{{a^3}+{b^3}}}{2}≤\frac{{{a^6}+{b^6}}}{2}$．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用作差比较法，以及分类讨论的思想方法，综合法证明，考查推理能力，属于中档题．