Question

已知圆C：（x-2）²+y²=4，点P是圆M：（x-7）²+y²=1上的动点，过P作圆C的切线，切点为E、F，则

CE

•

CF

的最大值是

 

．

Answer 1

分析：设出∠ECF=2α，表示出数量积，数量积中有cosα，cosα=

x

|PC|

=

2

|PC|

，确定|PC|的范围，可求出数量积的最值．

解答：解：：（x-2）²+y²=4的圆心C（2，0），半径等于2，圆M （x-7）²+y²=1，
圆心M（7，0），半径等于1．
∵|CM|=5＞2+1，故两圆相离．
设∠ECF=2α，则

CE

•

CF

=

|CE

|•

|CF

|cos2α=4cos2α=8cos²α-4．
在Rt△PCE中，cosα=

x

|PC|

=

2

|PC|

，由圆的几何性质得|PC|≤|MC|+1=5+1=6，|PC|≥|MC|-1=5-1=4，
所以

1

3

≤cosα≤

1

2

，由此可得

CE

•

CF

≤-2．
故答案为：-2．

点评：本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．属中档题．