Question

1．函数设f（x）=$\sqrt{x+3}$+$\frac{1}{ax+2}$（a∈R），若其定义域内不存在实数x，使得f（x）≤0，则a的取值范围是0≤a≤$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 由题意，对定义域内任意实数x，使得f（x）＞0恒成立，由此进行讨论分析可求a的取值范围．

解答 解：由题意，其定义域内任意实数x，使得f（x）＞0，
f（x）=$\sqrt{x+3}$+$\frac{1}{ax+2}$解析式要有意义，有$\left\{\begin{array}{l}{x≥-3}\\{ax+2≠0}\end{array}\right.$；
①当a=0时，f（x）=$\sqrt{x+3}$+$\frac{1}{2}$定义域为[-3，+∞），满足f（x）＞0恒成立；
②当a=$\frac{2}{3}$时，f（x）=$\sqrt{x+3}$+$\frac{3}{2x+6}$定义域为（-3，+∞），满足f（x）＞0恒成立；
③当a＜0时，在x略大于-$\frac{2}{a}$时，有f（x）＜0；
④a＞0时，有$\frac{1}{ax+2}$＞0在[-3，+∞）上恒成立，
∴ax+2＞0在[-3，+∞）上恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{-3a+2＞0}\end{array}\right.$，
∴0＜a＜$\frac{2}{3}$．
综上，答案为0≤a≤$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查函数的定义域，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．