Question

12．如图所示，圆O的直径为BD，过圆上一点A作圆O的切线AF交BD的延长线于点F，过点D作DE⊥AF于点E．
（1）证明：DA平分∠BDE；
（2）若ED=1，BD=5，求切线AF的长．

Answer 1

分析 （1）推导出∠DAE=∠ABD，∠BAD=90°，∠ABD+∠ADB=90°，∠ADE+∠DAE=90°，由此能证明DA平分∠BDE．
（2）由△BAD∽△AED，得AD=$\sqrt{5}$，从而AE=2，AB=2$\sqrt{5}$，再由△BAF∽△ADF，能求出切线AF的长．

解答 证明：（1）∵AE是⊙O的切线，∴∠DAE=∠ABD，
∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD=90°，∠ABD+∠ADB=90°，
又∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠ADB=∠ADE，
∴DA平分∠BDE．
解：（2）由（1）知△BAD∽△AED，
∴AD²=DE×BD=1×5=5，∴AD=$\sqrt{5}$，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}-D{E}^{2}}$=2，AB=$\sqrt{B{D}^{2}-A{D}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
由题意△BAF∽△ADF，
∴DF：AF=AF：BF=AD：AB=1：2，
设AF=x，则${x}^{2}=\frac{x}{2}（5+\frac{x}{2}）$，
解得x=$\frac{10}{3}$，
∴切线AF的长为$\frac{10}{3}$．

点评 本题考查DA平分∠BDE的证明，考查切线AF的长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．