题目内容
已知函数
，（x>0）．
（1）当0<a<b，且f（a）=f（b）时，求
的值 ；
（2）是否存在实数a，b（a<b），使得函数y=f（x）的定义域、值域都是[a，b]，若存在，求出a，b的值，若不存在，请说明理由．
（3）若存在实数a，b（a<b），使得函数y=f（x）的定义域为 [a，b]时，值域为 [ma，mb]，（m≠0），求m的取值范围．
解：（1） ∵x>0，∴
∴f（x）在（0，1）上为减函数，在
上是增函数．
由0<a<b，且f（a）=f（b），可得 0<a
1<b和
．
即
．……………………3分
（2）不存在满足条件的实数a，b．
若存在满足条件的实数a，b，使得函数y=
的定义域、值域都是[a，b]，
则a>0．而
①当
时，
在（0，1）上为减函数．
故
即
解得 a=b．
故此时不存在适合条件的实数a，b．
②当
时，
在
上是增函数．
故
即
此时a，b是方程
的根，此方程无实根．
故此时不存在适合条件的实数a，b．
③当
，
时，由于
，而
，
故此时不存在适合条件的实数a，b．
综上可知，不存在适合条件的实数a，b． …………………………8分
（3）若存在实数a，b（a<b），使得函数y=f（x）的定义域为[a，b]时，值域为[ma，mb]．
则a>0，m>0．
当时，由于f（x）在（0，1）上是减函数，
故
．此时得a=b，不符合题意，所以a，b不存在．
当，时，由（2）知0在值域内，值域不可能是[ma，mb]，所以a，b不存在．
故只有
．
∵在上是增函数，
∴
即 
所以a、b是方程
的两个根．
即关于x的方程有两个大于或等于1的相异实根．
设这两个根为
、
，则+=
，·=．
∴
即 
解得 
．
故m的取值范围是． ……………………………14分
长江作业本同步练习册系列答案
，（x>0）,常数
>0.
的单调区间；
，
=
，求证：
…
＞
（
,
）
A. 1 B. 2 C. 1/2 D. 1/3 
A. 1 B. 2 C. 1/2 D. 1/3