Question

8．如图，点A，B是单位圆上的两点，A，B两点分别在第一、二象限，点C是圆与x轴正半轴的交点，角∠AOB=$\frac{π}{4}$，若点A的坐标为（$\frac{\sqrt{2}}{10}$，$\frac{7\sqrt{2}}{10}$），记∠COA=α．
（Ⅰ）求$\frac{1+sin2α}{1+cos2α}$的值；
（Ⅱ）求点B的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知，根据三角函数的定义可求sinα，cosα的值，利用二倍角公式即可计算得解．
（Ⅱ）利用特殊角的三角函数值，两角和的正弦函数余弦函数公式分别求出cos∠COB，sin∠COB的值即可得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）∵A的坐标为（$\frac{\sqrt{2}}{10}$，$\frac{7\sqrt{2}}{10}$），根据三角函数的定义可知：sinα=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，cosα=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
∴$\frac{1+sin2α}{1+cos2α}$=$\frac{1+2sinαcosα}{2co{s}^{2}α}$=32…6分
（Ⅱ）∵角∠AOB=$\frac{π}{4}$，
∴cos∠COB=cos（α+$\frac{π}{4}$）=cosαcos$\frac{π}{4}$-sinαsin$\frac{π}{4}$=-$\frac{3}{5}$，
∴sin∠COB=sin（α+$\frac{π}{4}$）=sinαcos$\frac{π}{4}$+cosαsin$\frac{π}{4}$=$\frac{4}{5}$，
∴点B（-$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$）…12分

点评 本题主要考查了三角函数的定义，二倍角公式，特殊角的三角函数值，两角和的正弦函数、余弦函数公式的综合应用，考查了数形结合思想，属于基础题．