Question

12．已知函数f（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}+bx+1}$是奇函数．
（1）求实数a和b的值；
（2）证明y=f（x）在区间（1，+∞）上的单调递减；
（3）已知k＜0且不等式f（t²-2t+3）+f（k-1）＜0对任意的t∈R恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求函数的定义域为R，则f（x）是定义域为R的奇函数，则有f（0）=0，f（-1）=-f（1）即可求a、b的值．
（2）定义法证明其单调性即可．
（3）利用单调性将不等式化简，分离参数，求二次函数的最值来求实数k的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}+bx+1}$是奇函数．
可知函数f（x）的定义域为R，有f（0）=0，f（-1）=-f（1）
即：0+a=0，解得a=0，那么：f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+bx+1}$
由f（-1）=-f（1）
得：$\frac{-x}{{x}^{2}-bx+1}$=-$\frac{x}{{x}^{2}+bx+1}$
解得：b=0
所以：f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$．
那么：f（-x）=$\frac{-x}{（-x）^{2}+1}$=-$\frac{x}{{x}^{2}+1}$=f（x）
∴f（x）是定义域为R的奇函数．
（2）证明：
由（1）得f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$．
设1＜x₁＜x₂，
那么：$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{{x}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}}-\frac{{x}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{（x}_{1}{x}_{2}）^{2}}$，
∵1＜x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0
可得：f（x₁）-f（x₂）＞0
所以：函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调递减；
（3）由（2）函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调递减；
∵奇函的单调性在其定义域内相同，
∴函数f（x）在定义域R上的单调递减；
不等式f（t²-2t+3）+f（k-1）＜0，可得：f（t²-2t+3）＜f（1-k），
转化为：t²-2t+3＞1-k．
即：（t-1）²+1＞-k对任意的t∈R恒成立．
解得：-1＜k，
∵k＜0，
所以：实数k的取值范围（-1，0）．

点评 本题考查了函数的性质的运用能力和单调性的证明，以及利用单调性求解恒成立的问题，属于中档题．