题目内容
6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足$cos\frac{A}{2}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=15$．（1）求△ABC的面积；
（2）若tanB=2，求a的值．
分析 （1）cosA=2$co{s}^{2}\frac{A}{2}$-1，sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$．再利用数量积运算性质可得bc．利用面积计算公式即可得出．
（2）tanA=$\frac{4}{3}$，利用tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=-2．△ABC中，tanC=-tan（A+B），及其余弦定理即可得出．
解答 解：（1）cosA=2$co{s}^{2}\frac{A}{2}$-1=$\frac{3}{5}$，sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{4}{5}$．
∴bc×$\frac{3}{5}$=15，可得bc=25．
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×25×\frac{4}{5}$=10．
（2）由tanA=$\frac{4}{3}$，tanB=2，∴tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=-2．
∴△ABC中，tanC=-tan（A+B）=2，
即B=C．∴b=c=5．
∴a2=b2+c2-2bccosA=20，解得a=2$\sqrt{5}$．
点评 本题考查了余弦定理、和差公式、数量积运算性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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| B． | y=f（x）的最小正周期是2π，其图象关于$x=\frac{π}{2}$对称 | |
| C． | y=f（x）的最小正周期是π，其图象关于$x=\frac{π}{2}$对称 | |
| D． | y=f（x）的最小正周期是2π，其图象关于$x=-\frac{π}{4}$对称 |
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