Question

14．设S_n为数列{a_n}的前n项和，且a₁+a₂=4，$\frac{2{S}_{n+1}+1}{2{S}_{n}+1}$=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=c（c＞0，n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=a_nlog₃a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{2{S}_{n+1}+1}{2{S}_{n}+1}$=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=c（c＞0，n∈N^*），令n=1可得：$\frac{2{S}_{2}+1}{2{S}_{1}+1}$=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=c＞0，化为：9a₁=a₂（2a₁+1），又a₁+a₂=4，解得a₁，a₂，c．可得：S_n+1=3S_n+1，变形为S_n+1$+\frac{1}{2}$=3$（{S}_{n}+\frac{1}{2}）$，利用等比数列的通项公式可得S_n，再利用递推关系式可得a_n．
（2）b_n=a_nlog₃a_n=（n-1）•3^n-1．利用等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”即可得出．

解答 解：（1）由$\frac{2{S}_{n+1}+1}{2{S}_{n}+1}$=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=c（c＞0，n∈N^*），令n=1可得：$\frac{2{S}_{2}+1}{2{S}_{1}+1}$=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=c＞0，化为：9a₁=a₂（2a₁+1），又a₁+a₂=4，解得a₁=1，a₂=3，c=3．
∴2S_n+1+1=6S_n+3，∴S_n+1=3S_n+1，∴S_n+1$+\frac{1}{2}$=3$（{S}_{n}+\frac{1}{2}）$，∴数列$\{{S}_{n}+\frac{1}{2}\}$是等比数列，首项为$\frac{3}{2}$，公比为3，
∴S_n+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}×{3}^{n-1}$，化为S_n=$\frac{1}{2}（{3}^{n}-1）$．
∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}（{3}^{n}-1）$-$\frac{1}{2}（{3}^{n-1}-1）$=3^n-1，n=1时也成立．
∴a_n=3^n-1．
（2）b_n=a_nlog₃a_n=（n-1）•3^n-1．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=0+3+2×3²+…+（n-1）•3^n-1，
∴3T_n=0+3²+2×3³+…+（n-2）•3^n-1+（n-1）•3ⁿ，
∴-2T_n=3+3²+…+3^n-1-（n-1）•3ⁿ=$\frac{3×（{3}^{n-1}-1）}{3-1}$-（n-1）•3ⁿ=$\frac{3-2n}{2}$•3ⁿ-$\frac{3}{2}$，
∴T_n=$\frac{2n-3}{4}$•3ⁿ+$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．