Question

15．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=1，BC=2，AC⊥BC，D，E，F分别为棱AA₁，A₁B₁，AC的中点．
（1）求证：EF∥平面BCC₁B₁
（2）若EF=2，求三棱锥C₁-DCB的体积．

Answer 1

分析 （1）取B₁C₁的中点G，连接EG，CG，证明EFCG是平行四边形，可得EF∥CG，即可证明EF∥平面BCC₁B₁
（2）利用三棱锥C₁-DCB的体积=三棱锥B-C₁DC的体积=$\frac{1}{3}{S}_{△DC{C}_{1}}•BC$，求三棱锥C₁-DCB的体积．

解答 证明：（1）取B₁C₁的中点G，连接EG，CG，则EG∥A₁C₁，EG=$\frac{1}{2}$A₁C₁，
∵F是AC的中点，
∴CF∥A₁C₁，CF=$\frac{1}{2}$A₁C₁，
∴EG∥CF，EG=CF，
∴EFCG是平行四边形，
∴EF∥CG，
∵EF?平面BCC₁B₁，CG?平面BCC₁B₁，
∴EF∥平面BCC₁B₁
解：（2）∵EF=2，
∴CG=2，
∵BC=2，
∴CC₁=$\sqrt{3}$，
∴${V}_{{C}_{1}-DCB}$=${V}_{{B-C}_{1}DC}$=$\frac{1}{3}{S}_{△DC{C}_{1}}•BC$=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•\sqrt{3}•1•2$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．