Question

19．数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=$\frac{{{2^{n+1}}{a_n}}}{{{a_n}+{2^n}}}$（n∈N^*）
（1）证明：数列{$\frac{2^n}{a_n}$}是等差数列；
（2）设b_n=$\frac{{{2^{n+1}}}}{a_n}$+3，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，a_n+1=$\frac{{{2^{n+1}}{a_n}}}{{{a_n}+{2^n}}}$（n∈N^*），可得$\frac{{2}^{n+1}}{{a}_{n+1}}$-$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}$=1，即可证明．
（2）由（1）可得：$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}$=2+（n-1），代入可得b_n=$\frac{{{2^{n+1}}}}{a_n}$+3=2n+5，利用等差数列的求和公式即可得出．

解答 （1）证明：∵a₁=1，a_n+1=$\frac{{{2^{n+1}}{a_n}}}{{{a_n}+{2^n}}}$（n∈N^*），∴$\frac{{2}^{n+1}}{{a}_{n+1}}$-$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}$=1，
∴数列{$\frac{2^n}{a_n}$}是等差数列，首项为2，公差为1．
（2）解：由（1）可得：$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}$=2+（n-1）=n+1，
∴b_n=$\frac{{{2^{n+1}}}}{a_n}$+3=2（n+1）+3=2n+5，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{n（7+2n+5）}{2}$=n²+6n．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其求和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．