Question

6．如图，在△ABC中，D是边BC上一点，$\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DC}，|{\overrightarrow{AD}}$|=1．
（1）用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}$表示$\overrightarrow{AC}$；
（2）若$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BD}+{\overrightarrow{AB}^2}$=0，求$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AC}$的值；
（3）若AB=3，cos∠BAC=-$\frac{1}{3}$，求$|{\overrightarrow{BC}}$|．

Answer 1

分析 （1）利用向量加法的三角形法则得出；
（2）由条件$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BD}+{\overrightarrow{AB}^2}$=0可得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=0，结合（1）的结论得出$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AC}$的值；
（3）用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{AD}$，两边平方即可计算AC，再用余弦定理求出BC．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{DC}$，
∴$\overrightarrow{DC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$），
∴$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{AD}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$．
（2）∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BD}$+${\overrightarrow{AB}}^{2}$=$\overrightarrow{AB}•$（$\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AB}$）=$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=0，
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}$•（$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{AD}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{3}{2}$${\overrightarrow{AD}}^{2}$=$\frac{3}{2}$．
（3）∵$\overrightarrow{AC}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{AD}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$，
∴${\overrightarrow{AD}}^{2}$=$\frac{1}{9}{\overrightarrow{AB}}^{2}$+$\frac{4}{9}{\overrightarrow{AC}}^{2}$+$\frac{4}{9}$$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$，
∵AB=3，AD=1，cos∠BAC=-$\frac{1}{3}$，
∴${\overrightarrow{AD}}^{2}$=1，${\overrightarrow{AB}}^{2}$=9，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=-AC，
∴1=1+$\frac{4}{9}$AC²-$\frac{4}{9}$AC，
解得AC=1．
在△ABC中，由余弦定理得：BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cosBAC=9+1-2×1×3×（-$\frac{1}{3}$）=12．
∴|$\overrightarrow{BC}$|=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了平面向量的线性运算，数量积运算，属于中档题．