Question

4．设P是△ABC所在平面α外一点，且P到AB、BC、CA的距离相等，P在α内的射影P′在△ABC内部，则P′为△ABC的（　　）

• A． 重心
• B． 垂心
• C． 内心
• D． 外心

Answer 1

分析 作出图形分析位置关系，利用三垂线定理，投影定理，可得P'在底面ABC的位置．利用四心定义，准确判断．

解答 解：解法一：由题p到AB、BC、CA的距离相等，
知|PH|=|PG|=|PF|，且PH⊥AC，PG⊥BC，PF⊥AB，
又PP'⊥平面ABC
∴∠PP'H=∠PP'G=∠PP'F=90°
∴△PP'H≌△PP'G≌△PP'F
∴P'H=P'G=P'F
又∵PP'⊥平面ABC
∴PP'⊥AB且P'F⊥AB
∴AB⊥平面PP'F
∴AB⊥P'F
同理 BC⊥P'G，AC⊥P'H
所以P'到到AB、BC、CA的距离相等，
故P'为△ABC的内心．
故选C．
解法二：由题及三垂线定理可知：
AB⊥P'F，BC⊥P'G，AC⊥P'H
又|PH|=|PG|=|PF|，由投影定理知：
P'H=P'G=P'F
所以P'到到AB、BC、CA的距离相等，
故P'为△ABC的内心．
故选C．

点评 考查三垂线定理，投影定理，线面垂直判定定理，△内心定义．考查了数形结合思想．三角形四心问题，容易概念混乱，故本题属于中档题．