题目内容
设椭圆
=1（a＞b＞0）的焦点为F1、F2，P是椭圆上任一点，若∠F1PF2的最大值为
．（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设直线l与椭圆交于M、N两点，且l与以原点为圆心，短轴长为直径的圆相切．已知|MN|的最大值为4，求椭圆的方程和直线l的方程．
【答案】分析：（1）由椭圆的定义可知，|PF1|+|PF2|=2a?，由余弦定理可得，COS∠F1PF2=
，代入可求离心率
（2）由（I）可得e=
，从而可得椭圆方程为y2+4x2=4b2，该直线l：y=kx+m．由直线l与圆x2+y2=b2相切，可得m2=b2（1+k2），联立方程
可得（4+k2）x2+2kmx+m2-4b2=0而|MN|=4
b•
≤2b?可求
解答：解：∵椭圆方程为
=1（a＞b＞0）?
（1）|PF1|+|PF2|=2a?
cosF1PF2=
∴e=
（2）∵e=
，∴a2=4b2．?
∴椭圆方程为y2+4x2=4b2?
该直线l：y=kx+m．?
∵直线l与圆x2+y2=b2相切，∴m2=b2（1+k2）①?
从
得（4+k2）x2+2kmx+m2-4b2=0
∵|MN|=4
b•
≤2b?
当且仅当k=±
时取等号．
∴l：y=±
此时椭圆方程为：
=1．
点评：本题主要考查椭圆的性质的简单运用，及直线与椭圆的位置关系的应用，考查了考试的基本运算的能力，属于综合性试题．
，代入可求离心率（2）由（I）可得e=
，从而可得椭圆方程为y2+4x2=4b2，该直线l：y=kx+m．由直线l与圆x2+y2=b2相切，可得m2=b2（1+k2），联立方程可得（4+k2）x2+2kmx+m2-4b2=0而|MN|=4b•≤2b?可求解答：解：∵椭圆方程为
=1（a＞b＞0）?（1）|PF1|+|PF2|=2a?
cosF1PF2=
∴e=
（2）∵e=
，∴a2=4b2．?∴椭圆方程为y2+4x2=4b2?
该直线l：y=kx+m．?
∵直线l与圆x2+y2=b2相切，∴m2=b2（1+k2）①?
从
得（4+k2）x2+2kmx+m2-4b2=0∵|MN|=4
b•≤2b?当且仅当k=±
时取等号．∴l：y=±
此时椭圆方程为：
=1．点评：本题主要考查椭圆的性质的简单运用，及直线与椭圆的位置关系的应用，考查了考试的基本运算的能力，属于综合性试题．
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=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，A是椭圆上的一点，AF2⊥F1F2，原点O到直线AF1的距离为
．
；
+
=1（a＞b＞0）的离心率为e，A为椭圆上一点，弦AB，AC分别过焦点F1，F2．
=λ1
，
=λ2
，当A在椭圆上运动时，求证：λ1+λ2为定值．
=1（a＞b＞0）过点
，且左焦点为
•
=
•
，证明：点Q总在某定直线上．
=1（a＞b＞0）过点
，且左焦点为
•
=
•
，证明：点Q总在某定直线上．
=1（a＞b＞0）的焦距为2c．以点O为圆心，a为半径作圆M．若过点P（
，0）所作圆M的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为______