Question

17．已知圆C经过点A（2，-1），和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=-2x上．
（1）求圆C的方程；
（2）已知斜率为k的直线m过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线m的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意设出圆心C的坐标，由圆与直线相切的关系列出方程，求出圆C的圆心坐标和半径，即可求出圆的方程；
（2）设直线m的方程为y=kx，根据弦长公式列出方程求出k即可．

解答 解：（1）由题意设圆心的坐标为C（a，-2a），…（1分）
∵圆C经过点A（2，-1），直线x+y=1相切，
∴$\sqrt{（a-2）^{2}+（-2a+1）^{2}}$=$\frac{|a-2a-1|}{\sqrt{2}}$，…（3分）
化简得a²-2a+1=0，解得a=1，…（4分）
∴圆心C（1，-2），半径r=|AC|=$\sqrt{（1-2）^{2}+（-2+1）^{2}}$=$\sqrt{2}$    …（5分）
∴圆C的方程为（x-1）²+（y+2）²=2                …（6分）
（2）设直线m的方程为y=kx，…（7分）
由题意得$\frac{|k+2|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\sqrt{{{（\sqrt{2}）}^2}-{{（\frac{2}{2}）}^2}}$…（9分）
解得k=$-\frac{3}{4}$，…（11分）
∴直线m的方程为$y=-\frac{3}{4}x$．        …（12分）

点评 本题考查直线与圆的位置关系，弦长公式的应用，考查方程思想和待定系数法求圆的方程，属于中档题．