Question

2．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD中点．
（I）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设平面PBC与ABCD为60°的二面角，AB=1，AD=2，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （I）连结BD交AC于O，连结OE，根据中位线定理得出OE∥PB，故PB∥平面AEC；
（II）通过证明BC⊥平面PAB得出BC⊥PB，从而得出∠PBA为二面角的平面角，解出PA，代入体积公式计算体积．

解答 证明：（I）连结BD交AC于O，连结OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴O是BD的中点，又E是PD的中点，
∴OE∥PB，∵OE?平面AEC，PB?平面AEC，
∴PB∥平面AEC．
（II）∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴BC⊥PA，
∵四边形ABCD是矩形，∴BC⊥AB，
又PA?平面PAB，AB?平面PAB，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB，∵PB?平面PAB，
∴BC⊥PB，
∴∠PBA为平面PBC与平面ABCD所成二面角的平面角，
∴∠PBA=60°，
∵AB=1，PA⊥AB，
∴PA=$\sqrt{3}$，
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{矩形ABCD}•PA$=$\frac{1}{3}×1×2×\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，二面角的定义，体积计算，属于基础题．