Question

11．用数学归纳法证明：1-（3+x）ⁿ（n∈N^*）能被x+2整除．

Answer 1

分析 先验证n=1时，结论成立，再假设n=k时结论成立，利用因式分解推导n=k+1时，结论成立即可．

解答 证明：当n=1时，1-（3+x）ⁿ=1-（3+x）=-2-x=-（2+x），∴1-（3+x）能被x+2整除，
假设当n=k时，1-（3+x）^k能被x+2整除，即1-（3+x）^k=m（x+2），m∈Z．
则n=k+1时，1-（3+x）^k+1=1-（3+x）^k（3+x）=3-3（3+x）^k-x（3+x）^k+x-x-2
=3[1-（3+x）^k]-x[（3+x）^k-1]-（x+2）
=3m（x+2）+mx（x+2）-（x+2）
=（x+2）（3m+mx-1）．
∴当n=k+1时，1-（3+x）^k+1能被x+2整除．
综上，1-（3+x）ⁿ（n∈N^*）能被x+2整除．

点评 本题考查了数学归纳法的证明，掌握证明步骤，将n+1次因式分解成n次因式凑数是证明的关键．