Question

12．已知平面直角坐标系xOy的原点和x轴的正半轴分别与极坐标系的极点和极轴重合，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2t+3}\\{y=3t}\end{array}\right.$（t为参数），圆的极坐标方程为ρ²-4ρsinθ+3=0，若P，Q分别在直线l和圆上运动，则|PQ|的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{13}+2$
• B． $\sqrt{13}-2$
• C． $\sqrt{13}+1$
• D． $\sqrt{13}-1$

Answer 1

分析 直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2t+3}\\{y=3t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数化为普通方程．圆的极坐标方程为ρ²-4ρsinθ+3=0，利用互化公式可得直角坐标方程：x²+y²-4y+3=0，求出圆心到直线l的距离d．可得：|PQ|的最小值=d-r．

解答 解：直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2t+3}\\{y=3t}\end{array}\right.$（t为参数），化为普通方程：3x-2y-9=0．
圆的极坐标方程为ρ²-4ρsinθ+3=0，化为直角坐标方程：x²+y²-4y+3=0，配方为：x²+（y-2）²=1，可得圆心C（0，2），半径r=1．
圆心到直线l的距离d=$\frac{|0-4-9|}{\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}}$=$\sqrt{13}$．
则|PQ|的最小值为：d-r=$\sqrt{13}$-1．
故选：D．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．