Question

已知单位圆⊙O：x²+y²=1，A（1，0），B是圆上的动点，

AP

∥

OB

，

AB

•

AP

=1．
（1）求点P的轨迹E的方程；
（2）求过A作直线l被E截得的弦长的最小值．

Answer 1

分析：（1）设P（x，y），B（m，n），用坐标表示向量，根据

AP

∥

OB

，

AB

•

AP

=1，可得n=

y

x

，m=

x-1

x

，利用点B在单位圆上，即可点P的轨迹E的方程；
（2）设直线方程为x=my+1，代入抛物线方程可得y²-2my-1=0，利用韦达定理及弦长公式，即可求得过A作直线l被E截得的弦长的最小值．

解答：解：（1）设P（x，y），B（m，n），则

OB

=(m，n)，

AB

=(m-1，n)，

AP

=(x-1，y)
∵

AP

∥

OB

，

AB

•

AP

=1．
∴my=n（x-1），（m-1）（x-1）+ny=1
∴n=

y

x

，m=

x-1

x

∵m²+n²=1
∴y²=2x-1
（2）设直线方程为x=my+1，代入抛物线方程可得y²-2my-1=0，则△=4m²+4＞0
设过A作直线l被E截得的弦的端点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=2m，y₁y₂=-1
∴|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=2（1+m²）≥2（当且仅当m=0时取等号）
∴过A作直线l被E截得的弦长的最小值为2．

点评：本题考查向量知识的运用，考查轨迹方程的求解，考查弦长公式，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．