题目内容
20．椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的左右焦点分别是F1，F2，椭圆上有一点P，∠F1PF2=30°，则三角形F1PF2的面积为$18-9\sqrt{3}$．分析 在△F1PF2中，∠F1PF2=30°，|F1P|+|PF2|=2a=8，|F1F2|=2$\sqrt{7}$，利用余弦定理可求得|F1P|•|PF2|的值，从而可求得△PF1F2的面积．
解答 解：∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，
∴a=4，b=3，c=$\sqrt{7}$．
又∵P为椭圆上一点，∠F1PF2=30°，F1、F2为左右焦点，
∴|F1P|+|PF2|=2a=8，|F1F2|=2$\sqrt{7}$，
∴|F1F2|2=（|PF1|+|PF2|）2-2|F1P||PF2|-2|F1P|•|PF2|cos30°
=64-（2+$\sqrt{3}$）|F1P|•|PF2|
=28，
∴|F1P|•|PF2|=$\frac{36}{2+\sqrt{3}}$．
∴${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|F1P|•|PF2|sin30°
=$\frac{1}{2}$×$\frac{36}{2+\sqrt{3}}$×$\frac{1}{2}$
=18-9$\sqrt{3}$．
故答案为：$18-9\sqrt{3}$．
点评 本题考查椭圆的简单性质，考查余弦定理的应用与三角形的面积公式，属于中档题．
练习册系列答案
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| A． | $[{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1}）$ | B． | $[{\frac{1}{2}，1}）$ | C． | $（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}]$ | D． | $（{0，\frac{1}{2}}]$ |
11．若向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足$|a|=2，|b|=\sqrt{3}$，且$\overrightarrow{b}$⊥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为（ ）
| A． | $\frac{π}{6}$ | B． | $\frac{π}{3}$ | C． | $\frac{2π}{3}$ | D． | $\frac{5π}{6}$ |