Question

18．已知函数f（x）=4sin（ωx+φ）（ω＞0，-π＜φ＜π）的图象各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g（x）=4sinx的图象．
（1）求函数f（x）的递增区间；
（2）求函数f（x）在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{2π}{5}$]上的值域；
（3）求证：对任意λ＞0，都存在μ＞0，使f（x）+x-4＜0对x∈（-∞，λμ）恒成立．

Answer 1

分析 （1）函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，求得函数f（x）的递增区间．
（2）利用定义域和值域，求得函数f（x）在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{2π}{5}$]上的值域．
（3）分类讨论，可得当x≤$\frac{π}{12}$时，函数f（x）的图象位于直线y=4-x的下方，由此证得结论成立．

解答 解：（1）∵函数f（x）=4sin（ωx+φ）（ω＞0，-π＜φ＜π）的图象各点的纵坐标不变，
横坐标变为原来的2倍，
得到g（x）=4sinx=4sin（$\frac{1}{2}$ωx+φ）的图象，
∴$\frac{1}{2}$•ω=1，且 φ=0，∴ω=2，∴f（x）=4sin2x．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{4}$≤x≤kπ+$\frac{π}{4}$，
可得函数f（x）的增区间为[kπ-$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈Z．
（2）在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{2π}{5}$]上，2x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{4π}{5}$]，∴sin2x∈[-$\frac{1}{2}$，1]，∴4sin2x∈[-2，4]．
（3）不等式f（x）+x-4＜0，即 f（x）＜4-x，故函数f（x）的图象位于直线y=4-x的下方．
显然，当x≤0时，函数f（x）的图象位于直线y=4-x的下方．
当x∈（0，$\frac{π}{12}$]时，f（x）单调递增，f（$\frac{π}{12}$）=2，显然f（$\frac{π}{12}$）＜4-$\frac{π}{12}$，
即函数f（x）的图象位于直线y=4-x的下方．
综上可得，当x≤$\frac{π}{12}$时，函数f（x）的图象位于直线y=4-x的下方．
对任意λ＞0，一定存在μ=$\frac{π}{12λ}$＞0，使λμ=$\frac{π}{12}$，满足函数f（x）的图象位于直线y=4-x的下方．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性、定义域和值域，以及它的图象的对称性，函数的恒成立问题，属于中档题．