Question

12．已知函数f（x）=2lnx-$\frac{1}{2}$mx²-（1-2m）x，m∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=1处的切线过点（2，-1），求实数m的值；
（Ⅱ）当m＞-$\frac{1}{2}$时，讨论函数f（x）的零点个数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线的方程，代入A的坐标，解方程可得m的值；
（Ⅱ）求出f′（x）=$\frac{2}{x}$-mx-（1-2m）=$\frac{（x-2）（-mx-1）}{x}$，x＞0，讨论：当m≥0时，当$-\frac{1}{2}＜m＜0$，求得单调区间和极值，讨论极值符号，即可得到所求零点个数．

解答 解：（Ⅰ）f（x）定义域为（0，+∞）
导数f′（x）=$\frac{2}{x}$-mx-（1-2m），
可得切线的斜率为f′（1）=m+1，且$f（1）=\frac{3m}{2}-1$，
所求切线方程 $y-（\frac{3m}{2}-1）=（m+1）（{x-1}）$，
将点（2，-1）代入切线方程，可得-$\frac{3}{2}$m=1+m，
得 $m=-\frac{2}{5}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f′（x）=$\frac{2}{x}$-mx-（1-2m）=$\frac{（x-2）（-mx-1）}{x}$，x＞0，
当m≥0时，-mx-1＜0恒成立，
所以x＞2时，f′（x）＜0，f（x）在（2，+∞）是增函数；
当0＜x＜2时，f′（x）＞0，f（x）在（0，2）是减函数，
f（x）极小值f（2）=2ln2+2m-2；
当f（2）＞0，即m＞1-ln2时，f（x）有两个零点；
当f（2）=0，即m=1-ln2时，f（x）有一个零点；
当f（2）＜0，0≤m＜1-ln2时，f（x）无零点；
当m＜0，f′（x）=0，得x₁=2，${x_2}=-\frac{1}{m}$
当$-\frac{1}{2}＜m＜0$，f（x）分别在$（-\frac{1}{m}，+∞）$，（0，2）是增函数，
f（x）在$（2，-\frac{1}{m}）$是减函数，
f（x）极小值f（2）=2ln2+2m-2＜0，f（x）至多一个零点．
又y=2lnx是增函数，$y=-\frac{1}{2}m{x^2}-（1-2m）x$是开口向上的抛物线，
所以f（x）必有正值，即f（x）在$-\frac{1}{2}＜m＜0$有唯一零点；
综上，m＞1-ln2时，f（x）有两个零点；
m=1-ln2或$-\frac{1}{2}＜m＜0$时，f（x）有一个零点；
0≤m＜1-ln2，f（x）没有零点．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值，考查函数方程的转化思想，函数零点的个数，注意运用分类讨论的思想方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．