题目内容
7．
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点N，M分别是BD，B1C的点．（1）若点N，M分别是BD，B1C的中点，求证：MN∥AA1B1B；
（2）若$\frac{{B}_{1}M}{MC}$=$\frac{BN}{ND}$=$\frac{1}{2}$，则上述结论还成立吗？若成立请给出证明．
分析 （1）连接AC，AB1，利用三角形的中位线定理证明MN∥AB1，即可证明MN∥平面ABB1A1；
（2）结论仍成立，过点M作MP∥B1B，交BC于点P，连接NP，证明平面MNP∥平面ABB1A1，即可证明MN∥平面ABB1A1．．
解答 证明：（1）如图1，
连接AC，AB1，
∵ABCD是正方形，N是BD中点，
∴N是AC中点，
又∵M是CB1中点，
∴MN∥AB1，
∵MN?平面ABB1A1，AB1?平面ABB1A1，
∴MN∥平面ABB1A1；
（2）结论仍成立，证明如下；
如图2，
过点M作MP∥B1B，交BC于点P，连接NP，
∵MP∥B1B，∴$\frac{{B}_{1}M}{MC}$=$\frac{BP}{PC}$，
又$\frac{{B}_{1}M}{MC}$=$\frac{BN}{ND}$=$\frac{1}{2}$，∴$\frac{BN}{ND}$=$\frac{BP}{PC}$，∴NP∥DC，
又AB∥CD，∴NP∥AB；
由MP∥B1B，MP?平面ABB1A1，B1B?平面ABB1A1，∴MP∥平面ABB1A1，
同理，NP∥平面ABB1A1，
又MP?平面MNP，MP?平面MNP，
∴平面MNP∥平面ABB1A1，
又MN?平面MNP，
∴MN∥平面ABB1A1．
点评 本题考查了线线平行、线面平行和面面平行的判定与性质定理的应用问题，是中档题目．
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