Question

4．假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料：

使用年限x	2	3	4	5	6
维修费用y	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0

若由资料知，y对x呈线性相关关系，试求：
（1）线性回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$的回归系数a、b；

i	1	2	3	4	5	合计
xi	2	3	4	5	6	20
yi	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0	25
xiyi	4.4	11.4	22.0	32.5	42	112.3
?${x_i}^2$	4	9	16	25	36	90
?$\overline{x}=4$；?$\overline{y}=5$；?$\sum_{i=1}^n{{x_i}^2}=90$；$\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}=112.3$

（2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
在线性回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$中，$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$．

Answer 1

分析 （1）由题意首先结合公式求得$\hat{b}$，然后利用$\widehat{a}=\overline{y}-\widehat{b}\overline{x}$ 求得$\hat{a}$ 的值即可；
（2）利用回归方程的预测作用，将x=10代入回归直线方程即可求得使用年限为10年时的维修费用．

解答 解：（1）由题意可得：$\widehat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}=\frac{112.3-5×4×5}{90-5×{4}^{2}}=1.23$，$\widehat{a}=\overline{y}-\widehat{b}\overline{x}=0.08$．
（2）结合（1）的结论可得：$\hat{y}=1.23x+0.08$，据此预测使用年限为10年时，维修费用是 y=1.23×10+0.08=12.38万元．

点评 本题考查了线性回归方程的实际应用，线性回归方程的性质等，重点考查学生的计算能力和对基础概念的理解，属于中等题．