Question

10．用导数定义求函数y=f（x）=$\frac{2}{x}$+x在下列各点的导数．
（1）x=1；
（2）x=-2；
（3）x=x₀．

Answer 1

分析 根据导数的定义即可求出．

解答 解：（1）首先，对x=1给定自变量x的一个改变量△x，
得到相应函数值的改变量△y=f（1+△x）-f（1）=$\frac{{{{（△x）}^2}-△x}}{1+△x}$．再计算相应的平均变化率$\frac{△y}{△x}=\frac{{\frac{{{{（△x）}^2}-△x}}{1+△x}}}{△x}=1-\frac{2}{1+△x}$．当△x趋于0时，可以得出导数${f^'}（x）=\lim_{△x→0}\frac{△y}{△x}=\lim_{△x→0}（1-\frac{2}{1+△x}）=-1$．
（2）首先，对x=-2给定自变量x的一个该变量△x，得到相应函数值的该变量△y=f（-2+△x）-f（-2）=$\frac{△x}{-2+△x}+△x$．再计算相应函数的平均变化率$\frac{△y}{△x}=\frac{{\frac{△x}{-2+△x}+△x}}{△x}=\frac{1}{-2+△x}+1$．当△x趋于0时，得到导数${f^'}（-2）=\lim_{△x→0}\frac{△y}{△x}=\lim_{△x→0}（\frac{1}{-2+△x}+1）=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}$．
（3）首先，对x=x₀给定自变量x的一个该变量△x，得到相应函数值的改变量$△y=f（{x_0}+△x）-f（{x_0}）=-\frac{2△x}{{{x_0}^2+{x_0}△x}}+△x$．再计算相应的平均变化率$\frac{△y}{△x}=\frac{{-\frac{2△x}{{{x_0}^2+{x_0}△x}}+△x}}{△x}=-\frac{2}{{{x_0}^2+{x_0}△x}}+1$．当△x趋于0时，可以得出导数${f^'}（x{\;}_0）=\lim_{△x→0}\frac{△y}{△x}=\lim_{△x→0}（-\frac{2}{{x{{{\;}_0}^2}+{x_0}△x}}+1）=-\frac{2}{{{x_0}^2}}+1$．

点评 本题主要考查导数的定义，以及导数的几何意义，利用导数和瞬时变化率之间的关系求导数是解决本题的关键．