Question

18．在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若b²+c²=2a²，则cosA的最小值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． -$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由b²+c²=2a²得a²=$\frac{1}{2}$（b²+c²），由余弦定理表示出cosA，代入化简后利用不等式求出cosA的最小值．

解答 解：由b²+c²=2a²得a²=$\frac{1}{2}$（b²+c²），
在△ABC中，由余弦定理得，cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-\frac{{b}^{2}+{c}^{2}}{2}}{2bc}$=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}}{4bc}$$≥\frac{2bc}{4bc}=\frac{1}{2}$，
当且仅当b=c时取等号，
∴cosA的最小值为$\frac{1}{2}$，
故选：C．

点评 本题考查余弦定理，以及不等式求最值的应用，属于基础题．