Question

7．定义在R上的函数f（x）满足：当sinx≤cosx时，f（x）=cosx，当sinx＞cosx时，f（x）=sinx，给出以下结论：
①f（x）的最小值为-1；
②f（x）是周期函数；
③当且仅当x=2kπ（k∈Z）时，f（x）取最小值；
④当且仅当2kπ-$\frac{π}{2}$＜x＜（2k+1）π（k∈Z）时，f（x）＞0；
⑤f（x）的图象上相邻最低点的距离是2π．
其中正确的结论序号是②④⑤．

Answer 1

分析 根据题意，做出函数在一个周期上的图象，观察函数的图象，分别求解函数的周期，最值及取得最值的条件分别进行验证即可．

解答 解：做出正弦函数y=sinx与y=cosx在一个周期上的图象如下图，取函数的最大值
观察函数的图象可得函数的最小值为-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故①错误
观察图象可知函数以2π为周期的周期函数，故②正确；
当且仅当x=2kπ（k∈Z）时，f（x）取最大值；所以③错误；
当且仅当2kπ-$\frac{π}{2}$＜x＜（2k+1）π（k∈Z）时，f（x）＞0，故④正确；
由图象可知相邻的最低点的距离为一个周期即2π，故⑤正确
故答案为：②④⑤．

点评 本题主要考查了正弦函数与余弦函数的图象，三角函数的性质的应用，考查了识别图象的能力及由图象研究函数的性质．解题的关键是要由题中的定义找出函数所对应的图象，结合图象求解函数的性质，体会数形结合思想的应用．